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热方程——数学物理学的基本方程之一,致使傅里叶级数的诞生

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热方程——数学物理学的基本方程之一,致使傅里叶级数的诞生


在数学物理学中,有三个基本方程:热、波和拉普拉斯方程。这三个方程都是含有偏导数的微分方程,在物理学和工程学中都有许多应用。但是,这些数学上的方程在直观上表达了什么?在这篇文章中,我们将深入探讨第一个方程,即热方程。

铁棒的问题

假设有一根铁棒,我们知道热量在某一特定时间点是如何在铁棒上分布的,也就是说,我们知道它的每一个点的温度是多少。我们感兴趣的是以下问题:

热量分布将如何随时间变化?

正如我们在中学所学的,热量倾向于从温度较高的地方流向温度较低的地方传播。因此,我们实际上要做的是找到一个描述这一变化过程的方程式。当然,每当我们想模拟一个涉及 "变化 "的过程时,就会倾向于使用偏导数。

想象问题中的一维棒位于X轴上,那么描述其热分布如何随时间变化的微分方程如下:


其中α是一个比例常,而T=T(x,t)是一个函数,提供了杆子上位于坐标 "x "的任何一点在时间 "t "上的温度。

现在,让我们试着用直觉、逻辑思维和一些基本的数学知识来推导它。

热方程的直观推导

想象一下,我们只有少数几个点,而不是整个连续的铁棒,如下图所示。


Y轴代表每个点的温度。由于热量从较热的点流向较冷的点,那么每个点的温度变化将取决于其邻近点的温度。

让我们看一下上图中的粉红色点,它的两个“邻居”都有较低的温度,因此,当粉红色点开始冷却时,热量将被转移到这两个邻居。但是,如果它的一个邻居更热,另一个更冷,会发生什么?

那么,在这种情况下,将需要计算它们的平均温度。为了说明这一点,请看下图中的绿色点。


如果我们把绿色的中间点称为 "M",它的左邻N_1和右邻N_2,那么它们各自的温度将是T_8=8,T_n1=12,T_n2=3.8。绿色的邻居的平均温度为:


正如我们所看到的,蓝色点的平均温度小于其绿色对应点的温度。这意味着热量将从后者转移到前者身上,而绿点将被冷却一点。

我们如何概括这个想法并将其与导数的概念联系起来?

那么,我们在前面的例子中感兴趣的是下面这个量的符号:


如果这个差值大于0,那么中间点 "M "就会升温。差值越大,升温越快。因此,中间点升温的速度与上述差值成正比。为了在数学上表达这一点,我们这样写,M的温度相对于时间的导数等于这个差值乘以一个比例系数α。


这已经类似于热方程了。让我们试着在右手边做一些数学上的运算,看看是否能发现什么:


我们可以写成一个更紧凑的形式:


其中


正如你所看到的,我们已经将右手边表达为差值,即ΔΤ_1和ΔΤ_2。

如果这两个差值相同,那么中间点的温度T_m的导数为0,因此,T_m将不会改变。如果差值是正的,那么T_m的导数将是正的,T_m将增加。完全类比,如果差值为负,意味着中间点的邻居的平均温度低于它自己的温度。因此,T_m将减少。

我们甚至可以更进一步,把上面的公式改写成如下:


我们使用双△符号来表示差差值,或通常所说的二阶差。现在,在上面的例子中,我们分析了一维铁棒的有限的点集。如果要过渡到连续的情况,怎样才能替换二阶差分?在这种情况下,二阶差分的类似物是什么?当然,我们可以使用二阶导数:

值的


一维热力方程式一个点的温度变化率与它周围的温度的二阶差成正比。

这很容易被推广到更高的维度。例如,如果我们有一个三维的金属立方体,而不是一个一维的铁棒,那么相应的热方程将是如下:


三维热方程

这就是热方程的本质。虽然它一开始看起来有点令人生畏,但如果我们把它一点一点地分解,你可以看到它实际上在直观层面上是有意义的。

我们不会在本文中讨论如何解热力方程,因为这对我们理解其背后的直觉没有帮助。不过,我们要提到的是,这个方程诞生了现代数学的基石,傅里叶级数。

扩散方程

到目前为止,我们一直在研究的热方程描述了热量的流动方式。事实证明,我们可以把这个方程概括为描述各种其他的扩散现象。

扩散方程是描述由扩散控制的物理量在空间和时间上的变化的偏微分方程,即离子、分子甚至能量在溶液中从高浓度区域向低浓度区域的转移。

扩散方程如下:


扩散方程

其中D是一个称为扩散率的比例常数,P是经历扩散过程的量。

但是,它看起来不是和热力方程一样吗?这背后的原因是,它们基本上是同一个方程。事实上,热方程只是扩散方程的一个简单应用,其中被扩散的量是热量。

如果我们把P换成房间里的气体密度,将得到描述气体密度扩散的方程。在这一点上,我想提及的是,扩散方程本身就是更广泛的连续性方程与菲克定律的结合的应用。我们将在未来的文章中深入探讨这些概念。

最后

热方程,或通常所说的扩散方程,对工程师和物理学家都具有重要意义。它帮助我们描述热流、分子扩散、布朗运动、地热气体的特性等过程。它在纯数学意义上也非常重要,因为它是典型的抛物线偏微分方程,在 偏微分方程的理论分析中起着首要作用。

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标签: #级数 #物理学 #方程

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